超越三维空间的奇异数系:没有它,就没有现代代数

编辑:十大棋牌游戏 时间:2021-07-20 热度:2084℃ 来源:十大棋牌游戏排行榜 责编: 十大棋牌游戏
不停旋转的立方,每一面连接的色带必须经过两次完整旋转后才能回到最初状态。构成物质的粒子比如电子和夸克遵循这样的运动规律,而一类被命名为“四元数”的四维空间数也表现出了相似的性质。

19世纪发现的“四元数”永久地改变了物理学和数学,它给予了数学家们一种描述空间旋转的新方式。

如果把指向3点的时针往回拨动到12点,会经历怎样的过程?数学家早就知道如何将这种旋转简化成一个乘法运算:用一个数表示时针在平面上的初始位置,再乘上另一个常数。那么用相同的技巧描述三维空间中的转动可行吗?常识认为是可以的,但19世纪最杰出多产的数学家之一——威廉·哈密顿却花费了十多年的时间才找到用于描述三维空间旋转的数学概念。数学中仅有四个数系十大棋牌游戏准确遵循标准算法的近似模拟,哈密顿解决出的方法是其中第三个,十大棋牌游戏排行榜这一成果还促进了现代代数的兴起。

威廉·哈密顿图片来源:wikipedia

定义三维乘法

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第一个数系是实数。实数包括了我们在中学学到的所有数,比如-3.7和42;这一系列数字可以有序地从最小到最大排列。文艺复兴时期的代数学家偶然发现了第二个可以用来加减乘除的数系。如果想让一些方程存在解,必须引入一个新的数——虚数i,一个完全不存在于实数系中的数。如果把实数想象成一条直线,那第二个数系就是一步踏进了“复平面”。在这个平面世界中,“复数”表示一个个类似箭头的矢量,可以通过加法和减法来滑移棋牌游戏人气排行榜,或通过乘法和除法进行转动和拉伸。

在经典力学和量子力学中有一个与哈密顿同名的算法,叫做“哈密顿函数”,这位爱尔兰数学家曾希望通过添加一个假想的j轴从复平面变换至三维空间。但三维空间中一些奇特的性质推翻了哈密顿想到的一个又一个体系。“他一定尝试过千百次但没有一个体系成功。”加州大学河滨分校的数学家约翰·贝兹感慨道。问题就在于乘法,在复平面里,矢量的转动要通过乘法实现。无论哈密顿如何定义三维中的乘法,始终无法反过来让对应的除法重现有意义的结果。

要理解三维转动为何如此复杂,可以对比转动方向盘和旋转地球仪:方向盘外周的所有点以相同方式一起运动,所以它们的矢量只需要乘同一个数;但地球仪上的点,靠近赤道的速度最快,而越往两极越慢。更关键的是,两极不会有任何运动。贝兹解释说,如果三维旋转和二维一样,理论上所有的点都会移动。

四元数的诞生

1843年10月16日,一个惊人的解决方法在哈密顿脑中乍现,兴奋的哈密顿立刻将相关方程刻在了都柏林的金雀花桥上。只要把球体放在一个更高的维度里,它的转动就会更接近于二维的运动。首先需要三个虚数轴i、j、k,再加上一个实数轴a,就可以定义四维空间的矢量。哈密顿命名这一类新的数为“四元数”。在当天夜幕降临时,他已经勾勒出三维矢量转动的大致图景:简洁的四元数就能表示这些复杂的转动,其中只需要一个等于0的实数a和三个虚数i、j、k,同时他把代表三个方向的虚数称作“矢量”。转动一个三维矢量等同于乘一个有序的四元数,四元数包含了转动方向和角度的信息。

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